Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}] + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 3$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.3

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $3$ với $1$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + {(x + 3)}^{3} (2 x)$

Bước 1.1.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x + 3)}^{3}$ .

$x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{3} x$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Đưa $x {(x + 3)}^{2}$ ra ngoài $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Đưa $x {(x + 3)}^{2}$ ra ngoài $x^{2} (3 {(x + 3)}^{2})$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + 2 {(x + 3)}^{3} x$

Bước 1.1.4.1.2

Đưa $x {(x + 3)}^{2}$ ra ngoài $2 {(x + 3)}^{3} x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.1.3

Đưa $x {(x + 3)}^{2}$ ra ngoài $x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x + 3)}^{2} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{2} (x \cdot (3) + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$x {(x + 3)}^{2} (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.3

Viết lại ${(x + 3)}^{2}$ ở dạng $(x + 3) (x + 3)$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.4

Khai triển $(x + 3) (x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x (x + 3) + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.5.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.5.1.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$x (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.5.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$x (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.5.2

Cộng $3 x$ và $3 x$ .

$x (x^{2} + 6 x + 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.7.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.7.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.7.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.7.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x^{1 + 2} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.7.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$(x^{3} + x (6 x) + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.7.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot 9) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.7.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x^{3} + 6 x \cdot x + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.8

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.8.1

Di chuyển $x$ .

$(x^{3} + 6 (x \cdot x) + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.8.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 \cdot x) (3 x + 2 (x + 3))$

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 (x + 3))$

Bước 1.1.4.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 2 \cdot 3)$

Bước 1.1.4.9.2

Nhân $2$ với $3$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (3 x + 2 x + 6)$

Bước 1.1.4.10

Cộng $3 x$ và $2 x$ .

$(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$

Bước 1.1.4.11

Khai triển $(x^{3} + 6 x^{2} + 9 x) (5 x + 6)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$5 x^{3} x + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.2.1

Di chuyển $x$ .

$5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.2.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.2.3

Cộng $1$ và $3$ .

$5 x^{4} + x^{3} \cdot 6 + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 6 \cdot x^{3} + 6 x^{2} (5 x) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.5

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.5.1

Di chuyển $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.5.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.5.3

Cộng $1$ và $2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.6

Nhân $6$ với $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 6 + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.7

Nhân $6$ với $6$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 x (5 x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x \cdot x + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.9

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.12.9.1

Di chuyển $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 (x \cdot x) + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.9.2

Nhân $x$ với $x$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 9 \cdot 5 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.10

Nhân $9$ với $5$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 9 x \cdot 6$

Bước 1.1.4.12.11

Nhân $6$ với $9$ .

$5 x^{4} + 6 x^{3} + 30 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Bước 1.1.4.13

Cộng $6 x^{3}$ và $30 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 36 x^{2} + 45 x^{2} + 54 x$

Bước 1.1.4.14

Cộng $36 x^{2}$ và $45 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{4} + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{4}$ .

$x (5 x^{3}) + 36 x^{3} + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $36 x^{3}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + 81 x^{2} + 54 x = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $81 x^{2}$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + 54 x = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $54 x$ .

$x (5 x^{3}) + x (36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (5 x^{3}) + x (36 x^{2})$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x) + x \cdot 54 = 0$

Bước 2.2.1.6

Đưa $x$ ra ngoài $x (5 x^{3} + 36 x^{2}) + x (81 x)$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54 = 0$

Bước 2.2.1.7

Đưa $x$ ra ngoài $x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x) + x \cdot 54$ .

$x (5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 5$

Bước 2.2.2.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 54, \pm 10.8, \pm 2, \pm 0.4, \pm 27, \pm 5.4, \pm 3, \pm 0.6, \pm 18, \pm 3.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 9, \pm 1.8$

Bước 2.2.2.3

Thay $- 3$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 3$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Thay $- 3$ vào đa thức.

$5 {(- 3)}^{3} + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$5 \cdot - 27 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.3

Nhân $5$ với $- 27$ .

$- 135 + 36 {(- 3)}^{2} + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.4

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$- 135 + 36 \cdot 9 + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.5

Nhân $36$ với $9$ .

$- 135 + 324 + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.6

Cộng $- 135$ và $324$ .

$189 + 81 \cdot - 3 + 54$

Bước 2.2.2.3.7

Nhân $81$ với $- 3$ .

$189 - 243 + 54$

Bước 2.2.2.3.8

Trừ $243$ khỏi $189$ .

$- 54 + 54$

Bước 2.2.2.3.9

Cộng $- 54$ và $54$ .

$0$

Bước 2.2.2.4

Vì $- 3$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 3$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54}{x + 3}$

Bước 2.2.2.5

Chia $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ cho $x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$36 x^{2}$

$81 x$

$54$

Bước 2.2.2.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $5 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$

Bước 2.2.2.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			+	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Bước 2.2.2.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $5 x^{3} + 15 x^{2}$

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Bước 2.2.2.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

Bước 2.2.2.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Bước 2.2.2.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $21 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$

Bước 2.2.2.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$63 x$

Bước 2.2.2.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $21 x^{2} + 63 x$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$

Bước 2.2.2.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$

Bước 2.2.2.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Bước 2.2.2.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $18 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$

Bước 2.2.2.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

Bước 2.2.2.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $18 x + 54$

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

Bước 2.2.2.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$5 x^{2}$	+	$21 x$	+	$18$
$x$	+	$3$		$5 x^{3}$	+	$36 x^{2}$	+	$81 x$	+	$54$
			-	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$63 x$
							+	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	-	$54$
										$0$

Bước 2.2.2.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$5 x^{2} + 21 x + 18$

Bước 2.2.2.6

Viết $5 x^{3} + 36 x^{2} + 81 x + 54$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 x + 18)) = 0$

Bước 2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 5 \cdot 18 = 90$ và có tổng là $b = 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1.1.1

Đưa $21$ ra ngoài $21 x$ .

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 21 (x) + 18)) = 0$

Bước 2.2.3.1.1.1.2

Viết lại $21$ ở dạng $6$ cộng $15$

$x ((x + 3) (5 x^{2} + (6 + 15) x + 18)) = 0$

Bước 2.2.3.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x ((x + 3) (5 x^{2} + 6 x + 15 x + 18)) = 0$

Bước 2.2.3.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$x ((x + 3) ((5 x^{2} + 6 x) + 15 x + 18)) = 0$

Bước 2.2.3.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x ((x + 3) (x (5 x + 6) + 3 (5 x + 6))) = 0$

Bước 2.2.3.1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $5 x + 6$ .

$x ((x + 3) ((5 x + 6) (x + 3))) = 0$

Bước 2.2.3.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x ((x + 3) (5 x + 6) (x + 3)) = 0$

Bước 2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 3) (5 x + 6) (x + 3) = 0$

Bước 2.2.4

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nâng $x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Bước 2.2.4.2

Nâng $x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3)) (5 x + 6) = 0$

Bước 2.2.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x {(x + 3)}^{1 + 1} (5 x + 6) = 0$

Bước 2.2.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$5 x + 6 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Bước 2.5.2

Giải ${(x + 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 2.5.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 2.6

Đặt $5 x + 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $5 x + 6$ bằng với $0$ .

$5 x + 6 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $5 x + 6 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 x = - 6$

Bước 2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $5 x = - 6$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x = - 6$ cho $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Bước 2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Bước 2.6.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Bước 2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{6}{5}$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x {(x + 3)}^{2} (5 x + 6) = 0$ đúng.

$x = 0, - 3, - \frac{6}{5}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - 3, - \frac{6}{5}$ .

$0, - 3, - \frac{6}{5}$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = 5 {(- 4)}^{4} + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 4) = 5 \cdot 256 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.2

Nhân $5$ với $256$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 {(- 4)}^{3} + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 4) = 1280 + 36 \cdot - 64 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.4

Nhân $36$ với $- 64$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 {(- 4)}^{2} + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.5

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 81 \cdot 16 + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.6

Nhân $81$ với $16$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 + 54 (- 4)$

Bước 5.2.1.7

Nhân $54$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = 1280 - 2304 + 1296 - 216$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $2304$ khỏi $1280$ .

$f' (- 4) = - 1024 + 1296 - 216$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 1024$ và $1296$ .

$f' (- 4) = 272 - 216$

Bước 5.2.2.3

Trừ $216$ khỏi $272$ .

$f' (- 4) = 56$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $56$ .

$56$

Bước 5.3

Tại $x = - 4$ đạo hàm là $56$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 3)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 3)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 3, - \frac{6}{5})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2.1$ trong biểu thức.

$f' (- 2.1) = 5 {(- 2.1)}^{4} + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.2

Nhân $5$ với $19.4481$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 {(- 2.1)}^{3} + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.3

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 + 36 \cdot - 9.261 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.4

Nhân $36$ với $- 9.261$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 {(- 2.1)}^{2} + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.5

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 81 \cdot 4.41 + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.6

Nhân $81$ với $4.41$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 + 54 (- 2.1)$

Bước 6.2.1.7

Nhân $54$ với $- 2.1$ .

$f' (- 2.1) = 97.2405 - 333.396 + 357.21 - 113.4$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $333.396$ khỏi $97.2405$ .

$f' (- 2.1) = - 236.1555 + 357.21 - 113.4$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 236.1555$ và $357.21$ .

$f' (- 2.1) = 121.0545 - 113.4$

Bước 6.2.2.3

Trừ $113.4$ khỏi $121.0545$ .

$f' (- 2.1) = 7.6545$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $7.6545$ .

$7.6545$

Bước 6.3

Tại $x = - 2.1$ đạo hàm là $7.6545$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 3, - \frac{6}{5})$ .

Tăng trên $(- 3, - \frac{6}{5})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1.2, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.6$ trong biểu thức.

$f' (- 0.6) = 5 {(- 0.6)}^{4} + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $- 0.6$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 0.6) = 5 \cdot 0.1296 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.2

Nhân $5$ với $0.1296$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 {(- 0.6)}^{3} + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.3

Nâng $- 0.6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 + 36 \cdot - 0.216 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.4

Nhân $36$ với $- 0.216$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 {(- 0.6)}^{2} + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.5

Nâng $- 0.6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 81 \cdot 0.36 + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.6

Nhân $81$ với $0.36$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 + 54 (- 0.6)$

Bước 7.2.1.7

Nhân $54$ với $- 0.6$ .

$f' (- 0.6) = 0.648 - 7.776 + 29.16 - 32.4$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $7.776$ khỏi $0.648$ .

$f' (- 0.6) = - 7.128 + 29.16 - 32.4$

Bước 7.2.2.2

Cộng $- 7.128$ và $29.16$ .

$f' (- 0.6) = 22.032 - 32.4$

Bước 7.2.2.3

Trừ $32.4$ khỏi $22.032$ .

$f' (- 0.6) = - 10.368$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 10.368$ .

$- 10.368$

Bước 7.3

Tại $x = - 0.6$ đạo hàm là $- 10.368$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 1.2, 0)$ .

Giảm trên $(- \frac{6}{5}, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 5 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Bước 8.2.1.2

Nhân $5$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 {(1)}^{3} + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Bước 8.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 5 + 36 \cdot 1 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Bước 8.2.1.4

Nhân $36$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 {(1)}^{2} + 54 (1)$

Bước 8.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 5 + 36 + 81 \cdot 1 + 54 (1)$

Bước 8.2.1.6

Nhân $81$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54 (1)$

Bước 8.2.1.7

Nhân $54$ với $1$ .

$f' (1) = 5 + 36 + 81 + 54$

Bước 8.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Cộng $5$ và $36$ .

$f' (1) = 41 + 81 + 54$

Bước 8.2.2.2

Cộng $41$ và $81$ .

$f' (1) = 122 + 54$

Bước 8.2.2.3

Cộng $122$ và $54$ .

$f' (1) = 176$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $176$ .

$176$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $176$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 3), (- 3, - \frac{6}{5}), (0, \infty)$

Giảm trên: $(- \frac{6}{5}, 0)$

Bước 10