Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Bước 1.1.2.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Bước 1.1.2.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1.1.3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x^{3}, 1$

Bước 2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x^{3}$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{4} = - 2$

Bước 2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{4} = - 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{4} = - 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Chia $- 2$ cho $2$ .

$x^{4} = - 1$

Bước 2.4.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Bước 2.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Bước 2.4.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Bước 2.4.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Bước 2.5

Loại bỏ đáp án không làm cho $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Bước 6.2.1.3

Chia $2$ cho $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Bước 6.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$- 4$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- 4$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Bước 7.2.1.3

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Bước 7.2.2

Cộng $2$ và $2$ .

$f' (1) = 4$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$4$

Bước 7.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $4$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 0)$

Bước 9