Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 5}$ ở dạng ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Bước 1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

Bước 1.1.10

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Bước 1.1.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Bước 1.1.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Bước 1.1.11.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.11.5

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.1.2

Cộng $1$ và $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = - \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.1.2

Cộng $1$ và $5$ .

$f' (1) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, 0)$

Bước 8