Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 4}$ ở dạng ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Bước 1.1.3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Bước 1.1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Bước 1.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Bước 1.1.5.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.1.5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 4.2.3.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 4.2.4

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 4.2.4.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 4.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 2, 2$

Bước 4.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 2)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Bước 6.3

Tại $x = - 3$ đạo hàm là $\frac{6}{25}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 2)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 2)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Bước 7.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Bước 7.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $\frac{2}{9}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 2, 0)$ .

Tăng trên $(- 2, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 2)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Bước 8.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- \frac{2}{9}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 2)$ .

Giảm trên $(0, 2)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Bước 9.2.2.2

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Bước 9.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Bước 9.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Bước 9.3

Tại $x = 3$ đạo hàm là $- \frac{6}{25}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(2, \infty)$ .

Giảm trên $(2, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 10

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Giảm trên: $(0, 2), (2, \infty)$

Bước 11