Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{- 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Bước 1.1.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Bước 1.1.1.3

Viết lại $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ ở dạng ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2 x - 3$ .

$- 4 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$4 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.1.3.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.1.3.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 1.1.3.7

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Bước 1.1.3.8

Cộng $2 x - 2$ và $0$ .

$4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Bước 1.1.5.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 2.3

Đặt $2 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $2 x - 2$ bằng với $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Bước 2.3.2

Giải $2 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 2$

Bước 2.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 2$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Bước 2.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.3.1

Chia $2$ cho $2$ .

$x = 1$

Bước 2.4

Đặt $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng với $0$ .

$\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cho tử bằng không.

$4 = 0$

Bước 2.4.2.2

Vì $4 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 x - 2) (\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) = 0$ đúng.

$x = 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $1$ .

$1$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 4.2.1.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đặt ${(x - 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3.2

Giải ${(x - 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Đặt $x - 3$ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 4.2.3.2.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 4.2.4

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đặt ${(x + 1)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2

Giải ${(x + 1)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 4.2.4.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 4.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 3, - 1$

Bước 4.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{({(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot - 2 - 3)}^{2}})$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(4 + 4 - 3)}^{2}})$

Bước 6.2.1.3

Cộng $4$ và $4$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Bước 6.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Bước 6.2.1.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = (2 (- 2) - 2) (\frac{4}{25})$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = (- 4 - 2) (\frac{4}{25})$

Bước 6.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $- 4$ .

$f' (- 2) = - 6 (\frac{4}{25})$

Bước 6.2.3

Nhân $- 6 (\frac{4}{25})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Kết hợp $- 6$ và $\frac{4}{25}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 6 \cdot 4}{25}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $- 6$ với $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 24}{25}$

Bước 6.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 2) = - \frac{24}{25}$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{24}{25}$ .

$- \frac{24}{25}$

Bước 6.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $- \frac{24}{25}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 2 \cdot 0 - 3)}^{2}})$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 + 0 - 3)}^{2}})$

Bước 7.2.1.3

Cộng $0$ và $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Bước 7.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Bước 7.2.1.5

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{4}{9})$

Bước 7.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$f' (0) = (0 - 2) (\frac{4}{9})$

Bước 7.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f' (0) = - 2 (\frac{4}{9})$

Bước 7.2.3

Nhân $- 2 (\frac{4}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{4}{9}$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 4}{9}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$f' (0) = \frac{- 8}{9}$

Bước 7.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (0) = - \frac{8}{9}$

Bước 7.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Bước 7.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $- \frac{8}{9}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 1, 1)$ .

Giảm trên $(- 1, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1, 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{({(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 2 \cdot 2 - 3)}^{2}})$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(4 - 4 - 3)}^{2}})$

Bước 8.2.1.3

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(0 - 3)}^{2}})$

Bước 8.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{{(- 3)}^{2}})$

Bước 8.2.1.5

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{4}{9})$

Bước 8.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (2) = (4 - 2) (\frac{4}{9})$

Bước 8.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$f' (2) = 2 (\frac{4}{9})$

Bước 8.2.3

Nhân $2 (\frac{4}{9})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{4}{9}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Bước 8.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Bước 8.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $\frac{8}{9}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, 3)$ .

Tăng trên $(1, 3)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(3, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{({(4)}^{2} - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 2 \cdot 4 - 3)}^{2}})$

Bước 9.2.1.2

Nhân $- 2$ với $4$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(16 - 8 - 3)}^{2}})$

Bước 9.2.1.3

Trừ $8$ khỏi $16$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{{(8 - 3)}^{2}})$

Bước 9.2.1.4

Trừ $3$ khỏi $8$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{5^{2}})$

Bước 9.2.1.5

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = (2 (4) - 2) (\frac{4}{25})$

Bước 9.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$f' (4) = (8 - 2) (\frac{4}{25})$

Bước 9.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$f' (4) = 6 (\frac{4}{25})$

Bước 9.2.3

Nhân $6 (\frac{4}{25})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Kết hợp $6$ và $\frac{4}{25}$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 4}{25}$

Bước 9.2.3.2

Nhân $6$ với $4$ .

$f' (4) = \frac{24}{25}$

Bước 9.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{24}{25}$ .

$\frac{24}{25}$

Bước 9.3

Tại $x = 4$ đạo hàm là $\frac{24}{25}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(3, \infty)$ .

Tăng trên $(3, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 10

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(1, 3), (3, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - 1), (- 1, 1)$

Bước 11