Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Nhân $x^{2} - 36$ với $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 36$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Vì $- 36$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 36$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.9

Kết hợp $2$ và $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.10.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.1.10.2.2

Nhân $2$ với $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $72$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} = 72$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = 72$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = 72$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Bước 2.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Chia $72$ cho $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Bước 2.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Bước 2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- 36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- 36$ ở dạng $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Bước 2.3.4.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (36)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Bước 2.3.4.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Bước 2.3.4.4

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Bước 2.3.4.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 6$

Bước 2.3.4.6

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 6 i$

Bước 2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 6 i$

Bước 2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 6 i$

Bước 2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 6 i, - 6 i$

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Bước 4.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Bước 4.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3

Đặt ${(x + 6)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Đặt ${(x + 6)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Bước 4.2.3.2

Giải ${(x + 6)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Đặt $x + 6$ bằng $0$ .

$x + 6 = 0$

Bước 4.2.3.2.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 6$

Bước 4.2.4

Đặt ${(x - 6)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đặt ${(x - 6)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Bước 4.2.4.2

Giải ${(x - 6)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Đặt $x - 6$ bằng $0$ .

$x - 6 = 0$

Bước 4.2.4.2.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Bước 4.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 6, 6$

Bước 4.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 6)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 7$ trong biểu thức.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 2$ với $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Trừ $72$ khỏi $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $36$ khỏi $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Bước 6.3

Tại $x = - 7$ đạo hàm là $- \frac{170}{169}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 6)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 6)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 6, 6)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 7.2.1.3

Trừ $72$ khỏi $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $- 36$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Bước 7.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 72$ và $1296$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Đưa $72$ ra ngoài $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Bước 7.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.2.1

Đưa $72$ ra ngoài $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Bước 7.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Bước 7.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Bước 7.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Bước 7.3

Tại $x = 0$ đạo hàm là $- \frac{1}{18}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 6, 6)$ .

Giảm trên $(- 6, 6)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(6, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 2$ với $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 8.2.1.3

Trừ $72$ khỏi $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Bước 8.2.2.2

Trừ $36$ khỏi $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Bước 8.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Bước 8.3

Tại $x = 7$ đạo hàm là $- \frac{170}{169}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(6, \infty)$ .

Giảm trên $(6, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Bước 10