Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{5} - 5 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{5}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Bước 1.1.2.3

Nhân $5$ với $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $15 u^{2} - 15 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $15 u$ ra ngoài $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Bước 2.2.3.2

Đưa $15 u$ ra ngoài $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Bước 2.2.3.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Bước 2.2.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $x^{2} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x^{2} - 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $x^{2} - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 1$

Bước 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 2.5.2.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 2.5.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 2.5.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 2.5.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, 1, - 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $15$ với $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Bước 5.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- 15$ với $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Bước 5.2.2

Trừ $60$ khỏi $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $180$ .

$180$

Bước 5.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $180$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, - 1)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.3

Nhân $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ với $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.6

Kết hợp $15$ và $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Bước 6.2.1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.7.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Bước 6.2.1.7.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Bước 6.2.1.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Bước 6.2.1.9

Nhân $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 6.2.1.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Bước 6.2.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Bước 6.2.1.12

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Bước 6.2.1.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Bước 6.2.2

Để viết $- \frac{15}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 6.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $\frac{15}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $- 15$ với $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Bước 6.2.5.2

Trừ $60$ khỏi $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Bước 6.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Bước 6.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Bước 6.3

Tại $x = - \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- \frac{45}{16}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- 1, 0)$ .

Giảm trên $(- 1, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 7.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 7.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 7.2.1.4

Kết hợp $15$ và $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 7.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 7.2.1.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Bước 7.2.1.7

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Bước 7.2.1.8

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Bước 7.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Bước 7.2.2

Để viết $- \frac{15}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Bước 7.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $16$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $\frac{15}{4}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Bước 7.2.3.2

Nhân $4$ với $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Bước 7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Bước 7.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Nhân $- 15$ với $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Bước 7.2.5.2

Trừ $60$ khỏi $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Bước 7.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Bước 7.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Bước 7.3

Tại $x = \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- \frac{45}{16}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 1)$ .

Giảm trên $(0, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $15$ với $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Bước 8.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Bước 8.2.1.4

Nhân $- 15$ với $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Bước 8.2.2

Trừ $60$ khỏi $240$ .

$f' (2) = 180$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $180$ .

$180$

Bước 8.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $180$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Giảm trên: $(- 1, 0), (0, 1)$

Bước 10