Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (7)$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $12 x^{3} - 12 x$ và $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x^{3} - 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $12 x$ ra ngoài $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Bước 2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Bước 2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.6

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 12 \cdot - 2$

Bước 5.2.1.2

Nhân $12$ với $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 - 12 \cdot - 2$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 12$ với $- 2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 24$

Bước 5.2.2

Cộng $- 96$ và $24$ .

$f' (- 2) = - 72$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 72$ .

$- 72$

Bước 5.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $- 72$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{8}$ vào tử số.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.5.3

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.6

Kết hợp $3$ và $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Bước 6.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{2}$ vào tử số.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Bước 6.2.1.9.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Bước 6.2.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Bước 6.2.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Bước 6.2.1.10

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 6$

Bước 6.2.2

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 6.2.3

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12}{2}$

Bước 6.2.5.2

Cộng $- 3$ và $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$

Bước 6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Bước 6.3

Tại $x = - \frac{1}{2}$ đạo hàm là $\frac{9}{2}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 1, 0)$ .

Tăng trên $(- 1, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{3} - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{3}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{8}) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{8}) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.5

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

Bước 7.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

Bước 7.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 6$

Bước 7.2.2

Để viết $- 6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 7.2.3

Kết hợp $- 6$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Bước 7.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2}$

Bước 7.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Nhân $- 6$ với $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 12}{2}$

Bước 7.2.5.2

Trừ $12$ khỏi $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 9}{2}$

Bước 7.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{9}{2}$

Bước 7.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Bước 7.3

Tại $x = \frac{1}{2}$ đạo hàm là $- \frac{9}{2}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, 1)$ .

Giảm trên $(0, 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 12 \cdot 2$

Bước 8.2.1.2

Nhân $12$ với $8$ .

$f' (2) = 96 - 12 \cdot 2$

Bước 8.2.1.3

Nhân $- 12$ với $2$ .

$f' (2) = 96 - 24$

Bước 8.2.2

Trừ $24$ khỏi $96$ .

$f' (2) = 72$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $72$ .

$72$

Bước 8.3

Tại $x = 2$ đạo hàm là $72$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Giảm trên: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Bước 10