Giải tích Ví dụ

$f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 1.1.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 1.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 1.1.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$6 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 1.1.9

Kết hợp $6$ và $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 1.1.10

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.11

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Bước 1.1.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.12.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 2.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 4.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Bước 4.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = 0^{3}$

Bước 4.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 4.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.3.3.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.3.3.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.3.3.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = 6 x^{\frac{1}{3}}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 6.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Bước 6.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{1}$

Bước 6.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = \frac{2}{{(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = \frac{2}{1}$

Bước 7.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (1) = 2$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 7.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \infty)$ .

Tăng trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Bước 9