Giải tích Ví dụ

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{4}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $4$ với $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $- 20 x^{3} - 8 x$ và $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Bước 2.2

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 20 x^{3} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Bước 2.2.3

Đưa $- 4 x$ ra ngoài $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5

Đặt $5 x^{2} + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $5 x^{2} + 2$ bằng với $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $5 x^{2} + 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$5 x^{2} = - 2$

Bước 2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $5 x^{2} = - 2$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x^{2} = - 2$ cho $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Bước 2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Bước 2.5.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Bước 2.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Bước 2.5.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Bước 2.5.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Bước 2.5.2.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Bước 2.5.2.4.3

Viết lại $\sqrt{\frac{2}{5}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Bước 2.5.2.4.4

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Bước 2.5.2.4.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ với $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Bước 2.5.2.4.5.2

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Bước 2.5.2.4.5.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Bước 2.5.2.4.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Bước 2.5.2.4.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.5.6

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.5.2.4.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.5.2.4.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.2.4.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.2.4.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Bước 2.5.2.4.5.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Bước 2.5.2.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.4.6.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Bước 2.5.2.4.6.2

Nhân $2$ với $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Bước 2.5.2.4.7

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Bước 2.5.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Bước 2.5.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Bước 2.5.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 20$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Bước 5.2.2

Cộng $20$ và $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $28$ .

$28$

Bước 5.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $28$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 20$ với $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Bước 6.2.2

Trừ $8$ khỏi $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 28$ .

$- 28$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 28$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \infty)$ .

Giảm trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 0)$

Giảm trên: $(0, \infty)$

Bước 8