Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại ${(2 x - 3)}^{2}$ ở dạng $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Bước 1.1.2

Khai triển $(2 x - 3) (2 x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Bước 1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.4

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.5

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Bước 1.1.3.1.6

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Bước 1.1.3.2

Trừ $6 x$ khỏi $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 12 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.4

Nhân $2$ với $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.5

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.7

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.8

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.9

Cộng $8 x - 12$ và $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.5.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Bước 1.1.5.11

Nhân $4 x^{2} - 12 x + 9$ với $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.5

Di chuyển $- 12$ sang phía bên trái của $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.6

Cộng $8 x^{2}$ và $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Bước 1.1.6.2.7

Trừ $12 x$ khỏi $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ và có tổng là $b = - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Đưa $- 8$ ra ngoài $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Bước 2.2.2.1.1.2

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 2$ cộng $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Bước 2.2.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Bước 2.2.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Bước 2.2.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Bước 2.2.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Bước 2.4

Đặt $2 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $2 x - 1$ bằng với $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $2 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 2.5

Đặt $2 x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $2 x - 3$ bằng với $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Bước 2.5.2

Giải $2 x - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 3$

Bước 2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 3$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 3$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Bước 2.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{1}{2})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.5$ trong biểu thức.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Bước 5.2.1.2

Nhân $12$ với $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 24$ với $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $3$ và $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Bước 5.2.2.2

Cộng $15$ và $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $24$ .

$24$

Bước 5.3

Tại $x = - 0.5$ đạo hàm là $24$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Tăng trên $(- \infty, \frac{1}{2})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0.5, \frac{3}{2})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Bước 6.2.1.2

Nhân $12$ với $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 24$ với $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $24$ khỏi $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 12$ và $9$ .

$f' (1) = - 3$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 3$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Giảm trên $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3}{2}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.5$ trong biểu thức.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $2.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Bước 7.2.1.2

Nhân $12$ với $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 24$ với $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $60$ khỏi $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Bước 7.2.2.2

Cộng $15$ và $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $24$ .

$24$

Bước 7.3

Tại $x = 2.5$ đạo hàm là $24$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{3}{2}, \infty)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Giảm trên: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Bước 9