Giải tích Ví dụ

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{3} + 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{3}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $7$ với $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $24 x^{2} + 7 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Bước 2.2

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$24 x^{2} = - 7$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $24 x^{2} = - 7$ cho $24$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $24 x^{2} = - 7$ cho $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Bước 2.3.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Bước 2.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Bước 2.5

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $- \frac{7}{24}$ ở dạng ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Bước 2.5.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Bước 2.5.1.3

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Bước 2.5.1.4

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Bước 2.5.1.5

Viết lại $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ ở dạng ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Bước 2.5.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Bước 2.5.3

Viết lại $\sqrt{\frac{7}{6}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Bước 2.5.4

Nhân $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Bước 2.5.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ với $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Bước 2.5.5.2

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Bước 2.5.5.3

Nâng $\sqrt{6}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Bước 2.5.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Bước 2.5.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Bước 2.5.5.6

Viết lại ${\sqrt{6}}^{2}$ ở dạng $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6}$ ở dạng $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.5.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.5.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.5.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Bước 2.5.5.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Bước 2.5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Bước 2.5.6.2

Nhân $7$ với $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Bước 2.5.7

Nhân $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Nhân $\frac{i}{2}$ với $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Bước 2.5.7.2

Nhân $2$ với $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Bước 2.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Bước 2.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Bước 2.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Bước 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 4

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Bước 5.2.1.2

Nhân $24$ với $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Bước 5.2.2

Cộng $24$ và $7$ .

$f' (1) = 31$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $31$ .

$31$

Bước 6

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ là $31$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $24 x^{2} + 7 > 0$

Bước 7

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

Luôn tăng

Bước 8