Giải tích Ví dụ

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.2.4

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{9}{x^{2}})$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{9}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{9}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 1.1.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Bước 1.1.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 1.1.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Bước 1.1.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- x^{- 4} (2 x))$

Bước 1.1.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 4} x)$

Bước 1.1.3.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Bước 1.1.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{1 - 4})$

Bước 1.1.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 9 (- 2 x^{- 3})$

Bước 1.1.3.10

Nhân $- 2$ với $- 9$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 18 x^{- 3}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 x^{- 3}$

Bước 1.1.4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.4.3.3

Trừ $\frac{5}{x^{2}}$ khỏi $0$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 18 (\frac{1}{x^{3}})$

Bước 1.1.4.3.4

Kết hợp $18$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Bước 2.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Bước 2.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.2.4

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.2.5

BCNN của $1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.2.6

Các thừa số cho $x^{2}$ là $x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $2$ lần.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ xảy ra $2$ lần.

Bước 2.2.7

Các thừa số cho $x^{3}$ là $x \cdot x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $3$ lần.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ xảy ra $3$ lần.

Bước 2.2.8

BCNN của $x^{2}, x^{3}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x \cdot x$

Bước 2.2.9

Rút gọn $x \cdot x \cdot x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Bước 2.2.9.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Bước 2.2.9.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 1}$

Bước 2.2.9.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{3}$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{18}{x^{3}} = 0$ với $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.1.4

Viết lại biểu thức.

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 x + \frac{18}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Bước 2.3.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 x + 18 = 0 x^{3}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x^{3}$ .

$- 5 x + 18 = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $18$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 5 x = - 18$

Bước 2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $- 5 x = - 18$ cho $- 5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 5 x = - 18$ cho $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 18}{- 5}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 5}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{18}{5}$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $\frac{18}{5}$ .

$\frac{18}{5}$

Bước 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{5}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.3

Đặt mẫu số trong $\frac{18}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 4.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 4.4.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 4.4.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{18}{5}) \cup (\frac{18}{5}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{5}{1} + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $5$ cho $1$ .

$f' (- 1) = - 1 \cdot 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{{(- 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - 5 + \frac{18}{- 1}$

Bước 6.2.1.5

Chia $18$ cho $- 1$ .

$f' (- 1) = - 5 - 18$

Bước 6.2.2

Trừ $18$ khỏi $- 5$ .

$f' (- 1) = - 23$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 23$ .

$- 23$

Bước 6.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- 23$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \frac{18}{5})$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.8$ trong biểu thức.

$f' (1.8) = - \frac{5}{{(1.8)}^{2}} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $1.8$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1.8) = - \frac{5}{3.24} + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $5$ cho $3.24$ .

$f' (1.8) = - 1 \cdot 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1.54320987$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{{(1.8)}^{3}}$

Bước 7.2.1.4

Nâng $1.8$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + \frac{18}{5.832}$

Bước 7.2.1.5

Chia $18$ cho $5.832$ .

$f' (1.8) = - 1.54320987 + 3.08641975$

Bước 7.2.2

Cộng $- 1.54320987$ và $3.08641975$ .

$f' (1.8) = 1.54320987$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.54320987$ .

$1.54320987$

Bước 7.3

Tại $x = 1.8$ đạo hàm là $1.54320987$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, \frac{18}{5})$ .

Tăng trên $(0, \frac{18}{5})$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{18}{5}, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $4.6$ trong biểu thức.

$f' (4.6) = - \frac{5}{{(4.6)}^{2}} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $4.6$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4.6) = - \frac{5}{21.16} + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $5$ cho $21.16$ .

$f' (4.6) = - 1 \cdot 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

Bước 8.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0.23629489$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{{(4.6)}^{3}}$

Bước 8.2.1.4

Nâng $4.6$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + \frac{18}{97.336}$

Bước 8.2.1.5

Chia $18$ cho $97.336$ .

$f' (4.6) = - 0.23629489 + 0.18492644$

Bước 8.2.2

Cộng $- 0.23629489$ và $0.18492644$ .

$f' (4.6) = - 0.05136845$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.05136845$ .

$- 0.05136845$

Bước 8.3

Tại $x = 4.6$ đạo hàm là $- 0.05136845$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(\frac{18}{5}, \infty)$ .

Giảm trên $(\frac{18}{5}, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, \frac{18}{5})$

Giảm trên: $(- \infty, 0), (\frac{18}{5}, \infty)$

Bước 10