Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.4.2

Nhân $x^{2} + 3$ với $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.1.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ và có tổng là $b = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.1.2

Viết lại $2$ ở dạng $- 1$ cộng $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.5.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.9

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.1.3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 2.3.2

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.3.3

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.3.3.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 1) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = - 1, 3$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Cộng $- 2$ và $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $4$ và $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Bước 5.3

Tại $x = - 2$ đạo hàm là $- \frac{5}{49}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, - 1)$ .

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Bước 6.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 6.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $\frac{1}{4}$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- 1, 3)$ .

Tăng trên $(- 1, 3)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(3, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Cộng $4$ và $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $16$ và $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $19$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Bước 7.2.3

Nhân $5$ với $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Bước 7.3

Tại $x = 4$ đạo hàm là $- \frac{5}{361}$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(3, \infty)$ .

Giảm trên $(3, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- 1, 3)$

Giảm trên: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Bước 9