Giải tích Ví dụ

$y = \frac{2 x - 3}{3 x + 5}$ , $x = 3$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x - 3$ và $g (x) = 3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(3 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{(3 x + 5) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (3 x + 5) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - (2 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{2 (3 x + 5) - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x - 3)}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{6 x + 10 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.1.4

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$\frac{6 x + 10 - 6 x + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $6 x + 10 - 6 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Trừ $6 x$ khỏi $6 x$ .

$\frac{0 + 10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Cộng $0$ và $10$ .

$\frac{10 + 9}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $10$ và $9$ .

$\frac{19}{{(3 x + 5)}^{2}}$

Bước 4

Tính đạo hàm tại $x = 3$ .

$\frac{19}{{(3 (3) + 5)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{19}{{(9 + 5)}^{2}}$

Bước 5.2

Cộng $9$ và $5$ .

$\frac{19}{14^{2}}$

Bước 5.3

Nâng $14$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{19}{196}$