Giải tích Ví dụ

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Bước 1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 12

Cộng $1$ và $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Bước 13.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Bước 14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.3.5

Tính số mũ.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.6

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Bước 15.1.7

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 15.1.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 15.1.9

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Bước 15.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Bước 15.1.11

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.11.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Bước 15.1.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Bước 15.1.11.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 + 2$

Bước 15.2

Cộng $- 6$ và $2$ .

$- 4$