Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.2

Nhân $x^{2} - x + 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.9

Cộng $2 x - 1$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.4

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.1.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.2.1

Cộng $- x$ và $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.2.2

Cộng $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2.3

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.2

Sắp xếp lại $- x^{2}$ và $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Bước 1.2.3.2

Đặt $1 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đặt $1 + x$ bằng với $0$ .

$1 + x = 0$

Bước 1.2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 1.2.3.3

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 1.2.3.3.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 1.2.3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.3.3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 1.2.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(1 + x) (1 - x) = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Bước 1.4.1.2.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Bước 1.4.1.2.1.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Bước 1.4.1.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Bước 1.4.2.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Bước 1.4.2.2.1.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{1}$

Bước 1.4.2.2.2

Chia $1$ cho $1$ .

$1$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(1, 1)$

Bước 3

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Bước 3.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Bước 3.1.2.1.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Bước 3.1.2.1.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $0$ cho $1$ .

$0$

Bước 3.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Bước 3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Bước 3.2.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Bước 3.2.2.3

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Bước 3.2.2.4

Cộng $6$ và $1$ .

$\frac{3}{7}$

Bước 3.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Bước 4

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(1, 1)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(0, 0)$

Bước 5