Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} - 36$ và $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 36$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.3

Vì $- 36$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 36$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 36$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.7

Vì $36$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $36$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.8.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.2.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1.1

Trừ $2 x^{2} x$ khỏi $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.1.2

Cộng $2 \cdot 36 x$ và $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.2.1

Nhân $2$ với $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.2.2

Nhân $- 2$ với $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.1.3.5.3

Cộng $72 x$ và $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$144 x = 0$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $144 x = 0$ cho $144$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $144 x = 0$ cho $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $144$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $0$ cho $144$ .

$x = 0$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Bước 1.4.1.2.2.2

Cộng $0$ và $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Bước 1.4.1.2.3

Chia $- 36$ cho $36$ .

$- 1$

Bước 1.4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, - 1)$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 36$ bằng $x$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(- 36)}^{2} - 36$ và ${(- 36)}^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Bước 2.1.2.1.1.2

Viết lại $36$ ở dạng $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Bước 2.1.2.1.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Bước 2.1.2.1.1.4

Đưa $- 36$ ra ngoài ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Bước 2.1.2.1.1.5

Đưa $- 36$ ra ngoài $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Bước 2.1.2.1.1.6

Đưa $- 36$ ra ngoài $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Bước 2.1.2.1.1.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1.7.1

Đưa $- 36$ ra ngoài $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Bước 2.1.2.1.1.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Bước 2.1.2.1.1.7.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Bước 2.1.2.1.2

Cộng $- 36$ và $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Bước 2.1.2.2.2

Cộng $36$ và $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Nhân $- 1$ với $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Bước 2.1.2.3.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{35}{37}$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $36$ bằng $x$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của ${(36)}^{2} - 36$ và ${(36)}^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Bước 2.2.2.1.2

Viết lại $- 36$ ở dạng $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Bước 2.2.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Bước 2.2.2.1.4

Đưa $36$ ra ngoài $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Bước 2.2.2.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.5.1

Đưa $36$ ra ngoài $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Bước 2.2.2.1.5.2

Đưa $36$ ra ngoài $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Bước 2.2.2.1.5.3

Đưa $36$ ra ngoài $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Bước 2.2.2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Bước 2.2.2.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân $- 1$ với $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Cộng $- 36$ và $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Bước 2.2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Cộng $36$ và $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Bước 2.2.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(0, - 1)$

Bước 4