Giải tích Ví dụ

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x^{2}$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- \frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{2} x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Bước 1.1.1.3.4

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Bước 1.1.1.3.5

Nhân $- 3$ với $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Bước 1.1.1.3.6

Kết hợp $\frac{- 9}{2}$ và $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Bước 1.1.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Bước 1.1.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Bước 1.2.2

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ với $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Bước 1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{9 x^{2}}{2}$ vào tử số.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Bước 1.2.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Bước 1.2.2.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Bước 1.2.2.2.1.2

Nhân $2$ với $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Bước 1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Nhân $0$ với $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Bước 1.2.3

Đưa $- 9 x$ ra ngoài $- 9 x^{2} + 72 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $- 9 x$ ra ngoài $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Bước 1.2.3.2

Đưa $- 9 x$ ra ngoài $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Bước 1.2.3.3

Đưa $- 9 x$ ra ngoài $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.6

Đặt $x - 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x - 8$ bằng với $0$ .

$x - 8 = 0$

Bước 1.2.6.2

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 8$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 9 x (x - 8) = 0$ đúng.

$x = 0, 8$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nhân $18$ với $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Bước 1.4.1.2.1.4

Nhân $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Bước 1.4.1.2.1.4.2

Nhân $0$ với $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Bước 1.4.1.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $8$ bằng $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nhân $18$ với $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Bước 1.4.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Bước 1.4.2.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Bước 1.4.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Bước 1.4.2.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$1152 - 3 \cdot 256$

Bước 1.4.2.2.1.5

Nhân $- 3$ với $256$ .

$1152 - 768$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $768$ khỏi $1152$ .

$384$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (8, 384)$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân $18$ với $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Bước 2.1.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Bước 2.1.2.1.4

Nhân $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Bước 2.1.2.1.4.2

Nhân $0$ với $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Bước 2.1.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $12$ bằng $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $18$ với $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Bước 2.2.2.1.3

Nâng $12$ lên lũy thừa $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Bước 2.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Bước 2.2.2.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Bước 2.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Bước 2.2.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$2592 - 3 \cdot 864$

Bước 2.2.2.1.5

Nhân $- 3$ với $864$ .

$2592 - 2592$

Bước 2.2.2.2

Trừ $2592$ khỏi $2592$ .

$0$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, 0), (12, 0)$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(8, 384)$

Cực tiểu tuyệt đối: $(0, 0), (12, 0)$

Bước 4