Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + e^{- 4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 1.1.1.2.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Bước 1.1.1.2.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Bước 1.1.1.2.5

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $e^{- 4 x}$ cho $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Bước 1.2.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 1.2.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Khai triển $\ln (e^{- 4 x})$ bằng cách di chuyển $- 4 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 1.2.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 1.2.5.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Bước 1.2.6

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 1.2.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 1.2.6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $x + e^{- 4 x}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ bằng $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Viết lại $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ ở dạng $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{4}$ trong logarit.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 1.4.1.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 1.4.1.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Bước 1.4.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ vào tử số.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 1.4.1.2.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 1.4.1.2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Bước 1.4.1.2.5.4

Viết lại biểu thức.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Bước 1.4.1.2.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Bước 1.4.1.2.7

Nhân $\ln (\frac{1}{4})$ với $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Bước 1.4.1.2.8

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Bước 1.4.2

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Bước 2

Tính giá trị tại các điểm đầu mút.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Bước 2.1.2

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Bước 2.2

Tính giá trị tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Bước 2.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Bước 2.2.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Bước 2.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Cực tiểu tuyệt đối: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Bước 4