Giải tích Ví dụ

$y^{2} = x^{2} + y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' = 2 x + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y y' - y' = 2 x$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 x$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y - 1) = 2 x$ cho $2 y - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (2 y - 1) = 2 x$ cho $2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $0^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y^{2} = 0 + y$

Bước 8.1.2

Cộng $0$ và $y$ .

$y^{2} = y$

Bước 8.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - y = 0$

Bước 8.3

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y \cdot y - y = 0$

Bước 8.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

Bước 8.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$y (y - 1) = 0$

Bước 8.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$y = 0$

$y - 1 = 0$

Bước 8.5

Đặt $y$ bằng với $0$ .

$y = 0$

Bước 8.6

Đặt $y - 1$ bằng $0$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đặt $y - 1$ bằng với $0$ .

$y - 1 = 0$

Bước 8.6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 1$

Bước 8.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $y (y - 1) = 0$ đúng.

$y = 0, 1$

Bước 9

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(0, 1)$

Bước 10