Giải tích Ví dụ

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x y + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Bước 3

Vì $27$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $27$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Bước 5.1.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' + 2 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ cho $x + 2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ cho $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.5.1

Viết lại $- (2 x + y)$ ở dạng $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Bước 5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho tử bằng không.

$2 x + y = 0$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - y$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Bước 7.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{y}{2}$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.3

Nhân $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.5

Nhân $(- \frac{y}{2}) y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.5.1

Kết hợp $y$ và $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.5.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.5.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Bước 8.1.2.2

Nhân $\frac{y^{2}}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Bước 8.1.2.3

Viết $y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Bước 8.1.2.4

Nhân $\frac{y^{2}}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Bước 8.1.2.5

Nhân $\frac{y^{2}}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Bước 8.1.2.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Bước 8.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Bước 8.1.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Bước 8.1.4.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Bước 8.1.5

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Bước 8.1.5.2

Cộng $- y^{2}$ và $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Kết hợp.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3.1.1.3.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Bước 8.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Bước 8.3.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Bước 8.3.2.1.2

Nhân $4$ với $9$ .

$y^{2} = 36$

Bước 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Bước 8.5

Rút gọn $\pm \sqrt{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Viết lại $36$ ở dạng $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Bước 8.5.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = \pm 6$

Bước 8.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = 6$

Bước 8.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - 6$

Bước 8.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = 6, - 6$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = - \frac{6}{2}$

Bước 9.2

Rút gọn $- \frac{6}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia $6$ cho $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Bước 9.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$x = - 3$

Bước 10

Rút gọn $- \frac{- 6}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia $- 6$ cho $2$ .

$x = - - 3$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$x = 3$

Bước 11

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Bước 12