Giải tích Ví dụ

$3 x y = \ln (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$3 (x y' + y)$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x y' + 3 y$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $3 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ cho $3 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ cho $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.2

Nhân $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Bước 5.2.3.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Bước 5.2.3.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Bước 5.2.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3 x^{2}, x, 1$

Bước 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Bước 7.1.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 7.1.4

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 7.1.5

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 7.1.6

BCNN của $3, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3$

Bước 7.1.7

Các thừa số cho $x^{2}$ là $x \cdot x$ , chính là $x$ nhân với nhau $2$ lần.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ xảy ra $2$ lần.

Bước 7.1.8

Thừa số cho $x^{1}$ là chính nó $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ xảy ra $1$ lần.

Bước 7.1.9

BCNN của $x^{2}, x^{1}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x \cdot x$

Bước 7.1.10

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2}$

Bước 7.1.11

BCNN cho $3 x^{2}, x, 1$ là phần số $3$ nhân với phần biến.

$3 x^{2}$

Bước 7.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ với $3 x^{2}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ với $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y}{x}$ vào tử số.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.2.1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $0 (3 x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Bước 7.2.3.1.2

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Bước 7.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 y x = - 1$

Bước 7.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 3 y x = - 1$ cho $- 3 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 y x = - 1$ cho $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Bước 7.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Bước 7.3.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Bước 7.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Bước 7.3.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Bước 7.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x = \frac{1}{3 y}$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Bước 8.2

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Bước 8.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Bước 8.4

Viết lại $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Bước 8.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Bước 8.5.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3 y, 1$

Bước 8.5.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$3 y$

Bước 8.5.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{3 y} = e$ với $3 y$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{3 y} = e$ với $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Bước 8.5.3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$1 = e (3 y)$

Bước 8.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.3.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e$ .

$1 = 3 e y$

Bước 8.5.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Bước 8.5.4.2

Chia mỗi số hạng trong $3 e y = 1$ cho $3 e$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 e y = 1$ cho $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Bước 8.5.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Bước 8.5.4.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Bước 8.5.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Bước 8.5.4.2.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $3$ với $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Bước 9.2

Rút gọn $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn biểu thức $\frac{3}{3 e}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Bước 9.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Bước 9.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = 1 e$

Bước 9.2.4

Nhân $e$ với $1$ .

$x = e$

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Bước 11