Giải tích Ví dụ

$\cot (y) = x - y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 - y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại $- y' \csc^{2} (y)$ và $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.3

Viết lại $y'$ ở dạng $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.4

Đưa $- y'$ ra ngoài $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.5

Đưa $- y'$ ra ngoài $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.6

Đưa $- y'$ ra ngoài $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Bước 5.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Bước 5.2.8

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- y' \cot^{2} (y) = 1$ cho $- \cot^{2} (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- y' \cot^{2} (y) = 1$ cho $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cot^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $\cot (y)$ theo sin và cosin.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Bước 5.3.3.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Bước 5.3.3.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ sang $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan^{2} (y) = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan^{2} (y) = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.1.2.2

Chia $\tan^{2} (y)$ cho $1$ .

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

Bước 7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\tan^{2} (y) = 0$

Bước 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

Bước 7.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 7.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\tan (y) = \pm 0$

Bước 7.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$\tan (y) = 0$

Bước 7.4

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (0)$

Bước 7.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 7.6

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$y = π + 0$

Bước 7.7

Cộng $π$ và $0$ .

$y = π$

Bước 7.8

Tìm chu kỳ của $\tan (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 7.8.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 7.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 7.8.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 7.9

Chu kỳ của hàm $\tan (y)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$y = π n, π + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$y = π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 8

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\cot (y) = π n - y$

Bước 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $n$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $π n$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$π n - y - π n = 0$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $π n - y - π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $π n$ khỏi $π n$ .

$- y + 0 = 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $- y$ và $0$ .

$- y = 0$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $- y = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- y = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$y = 0$

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, π n - y)$

Bước 11