Giải tích Ví dụ

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 y^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $7$ .

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

Bước 2.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

Bước 2.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

Bước 3

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Trừ $10 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

Bước 5.1.2

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Bước 5.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $- 2 x y' + 14 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $- 2 x y'$ .

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

Bước 5.2.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $14 y y'$ .

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

Bước 5.2.3

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ .

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ cho $2 (- x + 7 y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ cho $2 (- x + 7 y)$ .

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- x + 7 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

Bước 5.3.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 x$ .

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.5

Viết lại $- (5 x - y)$ ở dạng $- 1 (5 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

Bước 5.3.3.2.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $7 y$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

Bước 5.3.3.2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (- 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

Bước 5.3.3.2.9

Viết lại $- (x - 7 y)$ ở dạng $- 1 (x - 7 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Bước 5.3.3.2.10

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

Bước 5.3.3.2.11

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

Bước 7

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cho tử bằng không.

$5 x - y = 0$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$5 x = y$

Bước 7.2.2

Chia mỗi số hạng trong $5 x = y$ cho $5$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $5 x = y$ cho $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Bước 7.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

Bước 7.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{y}{5}$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{5}$ .

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $25$ .

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.6

Nhân $- \frac{2 y}{5} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1.6.1

Kết hợp $y$ và $\frac{2 y}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.6.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.6.3

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.1.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

Bước 8.1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.2.2

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.3

Để viết $7 y^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Kết hợp $7 y^{2}$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $7 y^{2} \cdot 5$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.1.5.1.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

Bước 8.1.5.1.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

Bước 8.1.5.2

Nhân $7$ với $5$ .

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

Bước 8.1.5.3

Trừ $1$ khỏi $35$ .

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

Bước 8.1.6

Di chuyển $34$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

Bước 8.2

Cho tử bằng không.

$34 y^{2} = 0$

Bước 8.3

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Chia mỗi số hạng trong $34 y^{2} = 0$ cho $34$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $34 y^{2} = 0$ cho $34$ .

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

Bước 8.3.1.2.1.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{34}$

Bước 8.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Chia $0$ cho $34$ .

$y^{2} = 0$

Bước 8.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{0}$

Bước 8.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 8.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = \pm 0$

Bước 8.3.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$y = 0$

Bước 9

Giải tìm $x$ khi $y$ là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{0}{5}$

Bước 9.2

Chia $0$ cho $5$ .

$x = 0$

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Bước 11