Giải tích Ví dụ

$y = | x^{2} - 9 |$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = | x |$ và $g (x) = x^{2} - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $| u |$ đối với $u$ là $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 9$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Bước 3.2.3

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

Bước 3.2.4.3

Kết hợp $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ và $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.3.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.3.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 3.3.3.2

Nhân $2$ với $- 9$ .

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

Bước 6

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho tử bằng không.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

Bước 6.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3} - 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

Bước 6.2.1.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

Bước 6.2.1.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ .

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

Bước 6.2.1.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Bước 6.2.1.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Bước 6.2.1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Bước 6.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 6.2.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.2.4

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 6.2.4.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 6.2.5

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.5.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 6.2.5.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 6.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = 0, - 3, 3$

Bước 6.3

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ đúng.

$x = 0$

Bước 7

Rút gọn $| {(0)}^{2} - 9 |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = | 0 - 9 |$

Bước 7.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$y = | - 9 |$

Bước 7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 9$ và $0$ là $9$ .

$y = 9$

Bước 8

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 9)$

Bước 9