Giải tích Ví dụ

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Bước 3.1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $48 x^{2}$ đối với $x$ là $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $48$ .

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $32 x^{4}$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

Bước 3.3.3

Nhân $4$ với $32$ .

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $0$ và $96 x$ .

$96 x + 128 x^{3}$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$128 x^{3} + 96 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

Bước 6

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $32 x$ ra ngoài $128 x^{3} + 96 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $32 x$ ra ngoài $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $32 x$ ra ngoài $96 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

Bước 6.1.3

Đưa $32 x$ ra ngoài $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ .

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

Bước 6.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

Bước 6.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.4

Đặt $4 x^{2} + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $4 x^{2} + 3$ bằng với $0$ .

$4 x^{2} + 3 = 0$

Bước 6.4.2

Giải $4 x^{2} + 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} = - 3$

Bước 6.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = - 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = - 3$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Bước 6.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

Bước 6.4.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Bước 6.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

Bước 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Bước 6.4.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.4.1

Viết lại $- \frac{3}{4}$ ở dạng ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.4.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Bước 6.4.2.4.1.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $3$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Bước 6.4.2.4.1.3

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Bước 6.4.2.4.1.4

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Bước 6.4.2.4.1.5

Viết lại $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ ở dạng ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Bước 6.4.2.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Bước 6.4.2.4.3

Kết hợp $\frac{i}{2}$ và $\sqrt{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.4.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.4.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.4.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

Bước 7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

Bước 7.3

Rút gọn $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Bước 7.3.1.2

Nhân $48$ với $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

Bước 7.3.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

Bước 7.3.1.4

Nhân $32$ với $0$ .

$y = 2 + 0 + 0$

Bước 7.3.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Cộng $2$ và $0$ .

$y = 2 + 0$

Bước 7.3.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$y = 2$

Bước 8

Giá trị $x$ đã tính không thể chứa các thành phần ảo.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ không phải là một giá trị hợp lệ cho x

Bước 9

Giá trị $x$ đã tính không thể chứa các thành phần ảo.

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ không phải là một giá trị hợp lệ cho x

Bước 10

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

Bước 11