Giải tích Ví dụ

$y = 6 x - 4 \cos (3 x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x - 4 \cos (3 x))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x - 4 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Bước 3.2.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (3 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \cos (3 x)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 - 4 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$6 - 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$6 - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Bước 3.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$6 - 4 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Bước 3.3.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 - 4 (- 3 \sin (3 x))$

Bước 3.3.7

Nhân $- 3$ với $- 4$ .

$6 + 12 \sin (3 x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 6 + 12 \sin (3 x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 + 12 \sin (3 x)$

Bước 6

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$12 \sin (3 x) = - 6$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $12 \sin (3 x) = - 6$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $12 \sin (3 x) = - 6$ cho $12$ .

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 \sin (3 x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $\sin (3 x)$ cho $1$ .

$\sin (3 x) = \frac{- 6}{12}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Bước 6.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Bước 6.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (3 x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Bước 6.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 6.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

Bước 6.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 6.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$3 x = - \frac{π}{6}$

Bước 6.5

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - \frac{π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 6.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

Bước 6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.5.3.2

Nhân $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

Bước 6.5.3.2.2

Nhân $3$ với $6$ .

$x = - \frac{π}{18}$

Bước 6.6

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 6.7

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 6.7.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x = \frac{7 π}{6}$

Bước 6.7.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{7 π}{6}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = \frac{7 π}{6}$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 6.7.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 6.7.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

Bước 6.7.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.7.3.3.2

Nhân $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.3.3.2.1

Nhân $\frac{7 π}{6}$ với $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Bước 6.7.3.3.2.2

Nhân $6$ với $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Bước 6.8

Tìm chu kỳ của $\sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 6.8.2

Thay thế $b$ với $3$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Bước 6.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Bước 6.9

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Cộng $\frac{2 π}{3}$ vào $- \frac{π}{18}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

Bước 6.9.2

Để viết $\frac{2 π}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

Bước 6.9.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.3.1

Nhân $\frac{2 π}{3}$ với $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

Bước 6.9.3.2

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

Bước 6.9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

Bước 6.9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.5.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{18}$

Bước 6.9.5.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{18}$

Bước 6.9.6

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{18}$

Bước 6.10

Chu kỳ của hàm $\sin (3 x)$ là $\frac{2 π}{3}$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $\frac{2 π}{3}$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 7

Rút gọn $6 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 6 \frac{7 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$y = 6 \frac{7 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 6 \frac{7 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{7 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{7 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{7 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 7.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 7.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 7.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{7 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 7.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 7.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 7.1.7.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Bước 7.2

Rút gọn bằng cách giao hoán.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Sắp xếp lại $\frac{7 π}{6}$ và $2 π n$ .

$y = \frac{7 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Bước 7.2.2

Sắp xếp lại $\frac{7 π}{3}$ và $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Bước 8

Rút gọn $6 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = 6 \frac{11 π}{18} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $18$ .

$y = 6 \frac{11 π}{6 (3)} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 6 \frac{11 π}{6 \cdot 3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{11 π}{3} + 6 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 3 (2) \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{11 π}{3} + 3 \cdot 2 \frac{2 π n}{3} - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{11 π}{3} + 2 (2 π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 (π n) - 4 \cos (3 (\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}))$

Bước 8.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{18} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 8.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 (6)} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 8.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (3 \frac{11 π}{3 \cdot 6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 8.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 8.1.7

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 3 \frac{2 π n}{3})$

Bước 8.1.7.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Bước 8.2

Rút gọn bằng cách giao hoán.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sắp xếp lại $\frac{11 π}{6}$ và $2 π n$ .

$y = \frac{11 π}{3} + 4 π n - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Bước 8.2.2

Sắp xếp lại $\frac{11 π}{3}$ và $4 π n$ .

$y = 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Bước 9

Tìm các điểm mà tại đó $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{7 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{7 π}{6}))$ , cho mọi số nguyên $n$

$(\frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, 4 π n + \frac{11 π}{3} - 4 \cos (2 π n + \frac{11 π}{6}))$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 10