Giải tích Ví dụ

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2.3

Nhân $9$ với $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Bước 3.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Bước 6

Đặt $\frac{d y}{d x} = 0$ sau đó giải tìm $x$ theo dạng $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 6 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Bước 6.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Bước 6.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Bước 6.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Bước 6.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $x^{2} - 2 x + 3$ cho $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Bước 6.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 6.4

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = 3$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Bước 6.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Bước 6.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Bước 6.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Bước 6.6.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Bước 6.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Bước 6.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Bước 6.7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Bước 6.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Bước 6.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Bước 7

Giá trị $x$ đã tính không thể chứa các thành phần ảo.

$1 + i \sqrt{2}$ không phải là một giá trị hợp lệ cho x

Bước 8

Giá trị $x$ đã tính không thể chứa các thành phần ảo.

$1 - i \sqrt{2}$ không phải là một giá trị hợp lệ cho x

Bước 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Bước 10