Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 2$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Bước 3

Tính $f (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Bước 3.2

Rút gọn $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Bước 3.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Bước 3.2.3

Cộng $4$ và $21$ .

$\sqrt{25}$

Bước 3.2.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Bước 3.2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$5$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 21}$ ở dạng ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Bước 4.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 21$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Bước 4.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Bước 4.1.10

Vì $21$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $21$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 4.1.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 4.1.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 4.1.11.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.1.11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.1.11.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.2

Cộng $4$ và $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.3

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{5^{1}}$

Bước 4.3.6

Tính số mũ.

$\frac{2}{5}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Bước 6.1.3

Nhân $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Bước 6.1.3.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Bước 6.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Bước 6.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Bước 6.3

Kết hợp $5$ và $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Bước 6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $5$ với $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Bước 6.5.2

Trừ $4$ khỏi $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Bước 7