Giải tích Ví dụ

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Bước 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 6$

$b = 8$

$k = 7$

$h = 4$

Bước 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(4, 7)$

Bước 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Bước 5.2

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{36 + {(8)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{36 + 64}$

Bước 5.3.3

Cộng $36$ và $64$ .

$\sqrt{100}$

Bước 5.3.4

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Bước 5.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$10$

Bước 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Bước 6.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, 13)$

Bước 6.3

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Bước 6.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, 1)$

Bước 6.5

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(4, 13), (4, 1)$

Bước 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Bước 7.2

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, 17)$

Bước 7.3

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Bước 7.4

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(4, - 3)$

Bước 7.5

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(4, 17), (4, - 3)$

Bước 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Bước 8.2

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(8)}^{2}}}{6}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 8^{2}}}{6}$

Bước 8.3.1.2

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 64}}{6}$

Bước 8.3.1.3

Cộng $36$ và $64$ .

$\frac{\sqrt{100}}{6}$

Bước 8.3.1.4

Viết lại $100$ ở dạng $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{6}$

Bước 8.3.1.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{10}{6}$

Bước 8.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 (5)}{6}$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Bước 8.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{3}$

Bước 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Bước 9.2

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{8^{2}}{10}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{64}{10}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $64$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $64$ .

$\frac{2 (32)}{10}$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 5}$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{5}$

Bước 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Bước 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Bước 11.2

Rút gọn $\frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

Bước 11.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

Bước 11.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1 + 7$

Bước 11.2.1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 7$

Bước 11.2.2

Cộng $- 3$ và $7$ .

$y = \frac{3 x}{4} + 4$

Bước 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$

Bước 12.2

Rút gọn $- \frac{3}{4} \cdot (x - (4)) + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4) + 7$

Bước 12.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Bước 12.2.1.3

Kết hợp $x$ và $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4 + 7$

Bước 12.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{4}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4 + 7$

Bước 12.2.1.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1)) + 7$

Bước 12.2.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1) + 7$

Bước 12.2.1.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1 + 7$

Bước 12.2.1.5

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 + 7$

Bước 12.2.1.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 7$

Bước 12.2.2

Cộng $3$ và $7$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Bước 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{3 x}{4} + 4, y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Bước 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(4, 7)$

Các đỉnh: $(4, 13), (4, 1)$

Tiêu điểm: $(4, 17), (4, - 3)$

Tâm sai: $\frac{5}{3}$

Tham số tiêu: $\frac{32}{5}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{3 x}{4} + 4$ , $y = - \frac{3 x}{4} + 10$

Bước 15