Giải tích Ví dụ

$\sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 \cos (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.1.2.1.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Bước 2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Bước 2.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (0)$

Bước 2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 2.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.4.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.4.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.6.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.6.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 2.6.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 2.6.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 2.6.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.6.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.6.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.7.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.7.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \sin (2 x)$ tại $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Bước 3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 3.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \sin (2 x)$ tại $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để viết $\frac{π}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Bước 4.2.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

Bước 4.2.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

Bước 4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

Bước 4.2.4.2

Cộng $π$ và $2 π$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

Bước 4.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

Bước 4.2.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 4.2.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Bước 4.2.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Bước 4.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

Bước 4.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 5

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = \sin (2 x)$ là $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Bước 6