Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{2}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3 x^{2} - 10 x + 3$ và $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ và có tổng là $b = - 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Đưa $- 10$ ra ngoài $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Bước 3.1.1.2

Viết lại $- 10$ ở dạng $- 1$ cộng $- 9$

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

Bước 3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

Bước 3.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

Bước 3.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

Bước 3.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Bước 3.3

Đặt $3 x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đặt $3 x - 1$ bằng với $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Bước 3.3.2

Giải $3 x - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 1$

Bước 3.3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 3.3.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Bước 3.4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 3.4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(3 x - 1) (x - 3) = 0$ đúng.

$x = \frac{1}{3}, 3$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ tại $x = \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.7

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

Bước 4.2.1.9.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

Bước 4.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{5}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{5}{9}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Bước 4.2.2.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Bước 4.2.2.4

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Bước 4.2.2.5

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Bước 4.2.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Bước 4.2.2.7

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Bước 4.2.2.8

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Bước 4.2.2.9

Sắp xếp lại các thừa số của $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Bước 4.2.2.10

Nhân $3$ với $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Bước 4.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $- 5$ với $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

Bước 4.2.4.2

Trừ $15$ khỏi $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

Bước 4.2.4.3

Cộng $- 14$ và $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

Bước 4.2.4.4

Cộng $13$ và $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Bước 4.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

Bước 5.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 5$ với $9$ .

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân $3$ với $3$ .

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $45$ khỏi $27$ .

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 18$ và $9$ .

$f (3) = - 9 + 1$

Bước 5.2.2.3

Cộng $- 9$ và $1$ .

$f (3) = - 8$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 8$ .

$- 8$

Bước 6

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ là $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

Bước 7