Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \ln (x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.4.3.2

Chia $2$ cho $1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

Bước 1.3.6

Nhân $\ln (x^{2})$ với $1$ .

$2 + \ln (x^{2})$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 + \ln (x^{2}) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\ln (x^{2}) = - 2$

Bước 2.2

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

Bước 2.3

Viết lại $\ln (x^{2}) = - 2$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 2} = x^{2}$

Bước 2.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} = e^{- 2}$ .

$x^{2} = e^{- 2}$

Bước 2.4.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

Bước 2.4.3

Rút gọn $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

Bước 2.4.3.2

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 2.4.3.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

Bước 2.4.3.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm \frac{1}{e}$

Bước 2.4.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{1}{e}$

Bước 2.4.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{1}{e}$

Bước 2.4.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x \ln (x^{2})$ tại $x = \frac{1}{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{e}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Bước 3.2.2

Di chuyển $e^{2}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Bước 3.2.3

Viết lại $\ln (1^{2} e^{- 2})$ ở dạng $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Bước 3.2.4

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- 2$ ra khỏi số mũ.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Bước 3.2.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Bước 3.2.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Bước 3.2.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Khai triển $\ln (1^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Bước 3.2.7.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Bước 3.2.7.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Bước 3.2.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

Bước 3.2.8.2

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $- 2$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

Bước 3.2.8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

Bước 3.2.9

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x \ln (x^{2})$ tại $x = - \frac{1}{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{e}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Bước 4.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

Bước 4.2.3

Nhân $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

Bước 4.2.4

Di chuyển $e^{2}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

Bước 4.2.5

Viết lại $\ln (1^{2} e^{- 2})$ ở dạng $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

Bước 4.2.6

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $- 2$ ra khỏi số mũ.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

Bước 4.2.7

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

Bước 4.2.8

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

Bước 4.2.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Khai triển $\ln (1^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

Bước 4.2.9.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

Bước 4.2.9.3

Nhân $2$ với $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

Bước 4.2.10

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

Bước 4.2.11

Nhân $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

Bước 4.2.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

Bước 4.2.12

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x \ln (x^{2})$ là $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ .

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

Bước 6