Giải tích Ví dụ

$y (x) = x^{4} - 4 x + 4$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} - 4 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $4 x^{3} - 4$ và $0$ .

$4 x^{3} - 4$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $4 x^{3} - 4 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} = 4$

Bước 2.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} - 4 = 0$

Bước 2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 = 0$

Bước 2.3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 1) = 0$

Bước 2.3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{3}) + 4 (- 1)$ .

$4 (x^{3} - 1) = 0$

Bước 2.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$4 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Bước 2.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Bước 2.3.4

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Bước 2.3.4.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Bước 2.3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Bước 2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Bước 2.5

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.6

Đặt $x^{2} + x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $x^{2} + x + 1$ bằng với $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $x^{2} + x + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 2.6.2.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = 1$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.4.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.4.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.4.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.6.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.6.2.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.2.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.3

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.4

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (3)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Bước 2.6.2.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.5.4

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.6.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Bước 2.6.2.5.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.6.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ đúng.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 \cdot 1 + 4$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 4$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 4$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$f (1) = - 3 + 4$

Bước 3.2.2.2

Cộng $- 3$ và $4$ .

$f (1) = 1$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 4

Không tìm được tiếp tuyến tại một điểm ảo. Điểm tại $x = 1$ không tồn tại trên hệ tọa độ thực.

Không tìm được tiếp tuyến từ nghiệm $1$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x^{4} - 4 x + 4$ là $y = 1$ .

$y = 1$

Bước 6