Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} - 8 x + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $4 x^{3} - 8 x$ và $0$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Bước 3.1.2

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Bước 3.1.3

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Bước 3.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Bước 3.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.4

Đặt $x^{2} - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đặt $x^{2} - 2$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Bước 3.4.2

Giải $x^{2} - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 2$

Bước 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Bước 3.4.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2}$

Bước 3.4.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2}$

Bước 3.4.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 3.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x (x^{2} - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

Bước 4.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 4$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ tại $x = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $\sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Viết lại ${\sqrt{2}}^{4}$ ở dạng $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Bước 5.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Bước 5.2.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Bước 5.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

Bước 5.2.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Bước 5.2.1.3.5

Tính số mũ.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- 4$ với $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 3$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Bước 6

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ là $y = 1, y = - 3, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

Bước 7