Giải tích Ví dụ

$y = 2 x^{2} + 5 x$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x + 5 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $5$ với $1$ .

$4 x + 5$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $4 x + 5 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x = - 5$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 5$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = - 5$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Bước 3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{5}{4}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = 2 x^{2} + 5 x$ tại $x = - \frac{5}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{5}{4}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.3

Nhân $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ với $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.4

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.7

Nhân $5 (- \frac{5}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4})$

Bước 4.2.1.7.2

Kết hợp $- 5$ và $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4}$

Bước 4.2.1.7.3

Nhân $- 5$ với $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4}$

Bước 4.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4}$

Bước 4.2.2

Để viết $- \frac{25}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $\frac{25}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Bước 4.2.3.2

Nhân $4$ với $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8}$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{8}$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $- 25$ với $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50}{8}$

Bước 4.2.5.2

Trừ $50$ khỏi $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25}{8}$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{25}{8}$

Bước 4.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{25}{8}$ .

$- \frac{25}{8}$

Bước 5

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = 2 x^{2} + 5 x$ là $y = - \frac{25}{8}$ .

$y = - \frac{25}{8}$

Bước 6