Giải tích Ví dụ

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

Bước 1

Rút gọn $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển $1$ .

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $40 x^{3}$ và $- 3 x^{5}$ .

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Bước 2

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{5}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2.3

Nhân $5$ với $- 3$ .

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $40$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $40 x^{3}$ đối với $x$ là $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $40$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ và $0$ .

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

Bước 4.1.2

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

Bước 4.1.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $- 15 u^{2} + 120 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa $15 u$ ra ngoài $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 120 u = 0$

Bước 4.1.3.2

Đưa $15 u$ ra ngoài $120 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

Bước 4.1.3.3

Đưa $15 u$ ra ngoài $15 u (- u) + 15 u (8)$ .

$15 u (- u + 8) = 0$

Bước 4.1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

Bước 4.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

Bước 4.3

Đặt $x^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đặt $x^{2}$ bằng với $0$ .

$x^{2} = 0$

Bước 4.3.2

Giải $x^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.3.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.3.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.4

Đặt $- x^{2} + 8$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Đặt $- x^{2} + 8$ bằng với $0$ .

$- x^{2} + 8 = 0$

Bước 4.4.2

Giải $- x^{2} + 8 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Trừ $8$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 8$

Bước 4.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 8$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 8$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Bước 4.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Bước 4.4.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Bước 4.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.3.1

Chia $- 8$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Bước 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

Bước 4.4.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.4.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.4.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Bước 4.4.2.4.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Bước 4.4.2.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Bước 4.4.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Bước 4.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ đúng.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Bước 5

Giải hàm số ban đầu $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

Bước 5.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân $40$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Bước 5.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 6

Giải hàm số ban đầu $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ tại $x = 2 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $2 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{5}$ ở dạng $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.5

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.5.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.5.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.7

Nhân $4$ với $32$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.8

Nhân $128$ với $- 3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 6.2.1.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Bước 6.2.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Bước 6.2.1.11

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Bước 6.2.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

Bước 6.2.1.13

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Bước 6.2.1.13.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Bước 6.2.1.14

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Bước 6.2.1.15

Nhân $2$ với $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

Bước 6.2.1.16

Nhân $16$ với $40$ .

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

Bước 6.2.2

Cộng $- 384 \sqrt{2}$ và $640 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $256 \sqrt{2} + 1$ .

$256 \sqrt{2} + 1$

Bước 7

Giải hàm số ban đầu $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ tại $x = - 2 \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2 \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{5}$ ở dạng $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.5

Viết lại $32$ ở dạng $4^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.5.1

Đưa $16$ ra ngoài $32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.5.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.6

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.7

Nhân $4$ với $- 32$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.8

Nhân $- 128$ với $- 3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

Bước 7.2.1.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Bước 7.2.1.10

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

Bước 7.2.1.11

Viết lại ${\sqrt{2}}^{3}$ ở dạng $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

Bước 7.2.1.12

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

Bước 7.2.1.13

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

Bước 7.2.1.13.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

Bước 7.2.1.14

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

Bước 7.2.1.15

Nhân $2$ với $- 8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

Bước 7.2.1.16

Nhân $- 16$ với $40$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

Bước 7.2.2

Trừ $640 \sqrt{2}$ khỏi $384 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 256 \sqrt{2} + 1$ .

$- 256 \sqrt{2} + 1$

Bước 8

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ là $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

Bước 9