Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$9 x^{2} - 4 x + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $9 x^{2} - 4 x$ và $0$ .

$9 x^{2} - 4 x$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $9 x^{2} - 4 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2} - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $9 x^{2}$ .

$x (9 x) - 4 x = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$x (9 x) + x \cdot - 4 = 0$

Bước 2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (9 x) + x \cdot - 4$ .

$x (9 x - 4) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$9 x - 4 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 2.4

Đặt $9 x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $9 x - 4$ bằng với $0$ .

$9 x - 4 = 0$

Bước 2.4.2

Giải $9 x - 4 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$9 x = 4$

Bước 2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 4$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x = 4$ cho $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Bước 2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Bước 2.4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{4}{9}$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (9 x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, \frac{4}{9}$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 9$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Bước 3.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Bước 3.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 9$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Bước 3.2.2.2

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$f (0) = - 9$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 9$ .

$- 9$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ tại $x = \frac{4}{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{4}{9}$ trong biểu thức.

$f (\frac{4}{9}) = 3 {(\frac{4}{9})}^{3} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{4^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{729}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $729$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 (243)}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Bước 4.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{4^{2}}{9^{2}} - 9$

Bước 4.2.1.6

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{16}{9^{2}} - 9$

Bước 4.2.1.7

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 (\frac{16}{81}) - 9$

Bước 4.2.1.8

Nhân $- 2 (\frac{16}{81})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.8.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{16}{81}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 2 \cdot 16}{81} - 9$

Bước 4.2.1.8.2

Nhân $- 2$ với $16$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 32}{81} - 9$

Bước 4.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} - 9$

Bước 4.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{32}{81}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - (\frac{32}{81} \cdot \frac{3}{3}) - 9$

Bước 4.2.2.2

Nhân $\frac{32}{81}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} - 9$

Bước 4.2.2.3

Viết $- 9$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1}$

Bước 4.2.2.4

Nhân $\frac{- 9}{1}$ với $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Bước 4.2.2.5

Nhân $\frac{- 9}{1}$ với $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Bước 4.2.2.6

Sắp xếp lại các thừa số của $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Bước 4.2.2.7

Nhân $3$ với $81$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{243} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 32 \cdot 3 - 9 \cdot 243}{243}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $- 32$ với $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 9 \cdot 243}{243}$

Bước 4.2.4.2

Nhân $- 9$ với $243$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 2187}{243}$

Bước 4.2.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Trừ $96$ khỏi $64$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 32 - 2187}{243}$

Bước 4.2.5.2

Trừ $2187$ khỏi $- 32$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 2219}{243}$

Bước 4.2.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{4}{9}) = - \frac{2219}{243}$

Bước 4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2219}{243}$ .

$- \frac{2219}{243}$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ là $y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$ .

$y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$

Bước 6