Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Bước 1

Thiết lập $y$ ở dạng một hàm số của $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $4 x^{3} - 3$ và $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $4 x^{3} - 3 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x^{3} = 3$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{3} = 3$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{3} = 3$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Bước 3.2.2.1.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Bước 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.3.2

Nâng $\sqrt[3]{4}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Bước 3.4.3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Bước 3.4.3.5

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ ở dạng $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4}$ ở dạng $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 3.4.3.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 3.4.3.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.3.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.3.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Bước 3.4.3.5.5

Tính số mũ.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Bước 3.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Bước 3.4.4.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Bước 3.4.4.3

Viết lại $16$ ở dạng $2^{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Bước 3.4.4.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.4.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Bước 3.4.4.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.4.5.2

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Bước 3.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Bước 3.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ tại $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Viết lại ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ ở dạng $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.2.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.2.3

Viết lại $1296$ ở dạng $6^{3} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.3.1

Đưa $216$ ra ngoài $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.2.3.2

Viết lại $216$ ở dạng $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.2.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.5

Kết hợp $- 3$ và $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Bước 4.2.2

Để viết $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Bước 4.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Bước 4.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Bước 4.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1.1

Nhân $4$ với $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Bước 4.2.5.1.2

Trừ $12 \sqrt[3]{6}$ khỏi $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Bước 4.2.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Bước 4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Bước 5

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ là $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Dạng thập phân:

$y = - 0.04426066 \dots$

Bước 7