Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1$

Bước 2.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 2.2

Nhân mỗi số hạng trong $2 x + \frac{1}{x} = 0$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x + \frac{1}{x} = 0$ với $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 2.2.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 2.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Bước 2.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $0$ với $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} = - 1$

Bước 2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Bước 2.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $- \frac{1}{2}$ ở dạng $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Bước 2.3.4.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Bước 2.3.4.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Bước 2.3.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3.4.4

Viết lại $\sqrt{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Bước 2.3.4.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bước 2.3.4.6

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Bước 2.3.4.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 2.3.4.7.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 2.3.4.7.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 2.3.4.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 2.3.4.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 2.3.4.7.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.3.4.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.4.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.4.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 2.3.4.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 2.3.4.7.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.4.8

Kết hợp $i$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 2.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Bước 3

Không tìm được tiếp tuyến tại một điểm ảo. Điểm tại $x =$ không tồn tại trên hệ tọa độ thực.

Không tìm được tiếp tuyến từ nghiệm

Bước 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Bước 5