Giải tích Ví dụ

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 60$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 60 x$ đối với $x$ là $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 60$ với $1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $6 x^{2} + 18 x - 60$ và $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $6 x^{2} + 18 x - 60 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2} + 18 x - 60$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x - 60 = 0$

Bước 2.1.1.2

Đưa $6$ ra ngoài $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 60 = 0$

Bước 2.1.1.3

Đưa $6$ ra ngoài $- 60$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Bước 2.1.1.4

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Bước 2.1.1.5

Đưa $6$ ra ngoài $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10$ .

$6 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

Bước 2.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Phân tích $x^{2} + 3 x - 10$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 10$ và tổng của chúng là $3$ .

$- 2, 5$

Bước 2.1.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$6 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

Bước 2.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$6 (x - 2) (x + 5) = 0$

Bước 2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Bước 2.3

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.4

Đặt $x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x + 5$ bằng với $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 2.4.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $6 (x - 2) (x + 5) = 0$ đúng.

$x = 2, - 5$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Nhân $2$ với ${(2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (2) = 2^{1 + 3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$f (2) = 2^{4} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (2) = 16 + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = 16 + 9 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.4

Nhân $9$ với $4$ .

$f (2) = 16 + 36 - 60 \cdot 2 + 4$

Bước 3.2.1.5

Nhân $- 60$ với $2$ .

$f (2) = 16 + 36 - 120 + 4$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $16$ và $36$ .

$f (2) = 52 - 120 + 4$

Bước 3.2.2.2

Trừ $120$ khỏi $52$ .

$f (2) = - 68 + 4$

Bước 3.2.2.3

Cộng $- 68$ và $4$ .

$f (2) = - 64$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 64$ .

$- 64$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ tại $x = - 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Bước 4.2.1.2

Nhân $2$ với $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Bước 4.2.1.3

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 \cdot 25 - 60 \cdot - 5 + 4$

Bước 4.2.1.4

Nhân $9$ với $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 - 60 \cdot - 5 + 4$

Bước 4.2.1.5

Nhân $- 60$ với $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 + 300 + 4$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $- 250$ và $225$ .

$f (- 5) = - 25 + 300 + 4$

Bước 4.2.2.2

Cộng $- 25$ và $300$ .

$f (- 5) = 275 + 4$

Bước 4.2.2.3

Cộng $275$ và $4$ .

$f (- 5) = 279$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $279$ .

$279$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ là $y = - 64, y = 279$ .

$y = - 64, y = 279$

Bước 6