Giải tích Ví dụ

$\csc (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Bước 2.2

Đặt $\cot (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt $\cot (x)$ bằng với $0$ .

$\cot (x) = 0$

Bước 2.2.2

Giải $\cot (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Lấy nghịch đảo cotang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm cotang.

$x = arccot (0)$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Giá trị chính xác của $arccot (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 2.2.2.3

Hàm cotang dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy thêm góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{2}$

Bước 2.2.2.4

Rút gọn $π + \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 2.2.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Bước 2.2.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Bước 2.2.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.4.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Bước 2.2.2.4.3.2

Cộng $2 π$ và $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 2.2.2.5

Tìm chu kỳ của $\cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 2.2.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 2.2.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 2.2.2.5.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.2.2.6

Chu kỳ của hàm $\cot (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.3

Đặt $\csc (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đặt $\csc (x)$ bằng với $0$ .

$\csc (x) = 0$

Bước 2.3.2

Khoảng biến thiên của cosecant là $y \leq - 1$ và $y \geq 1$ . Vì $0$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- \cot (x) \csc (x) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.5

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \csc (x)$ tại $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Bước 3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \csc (x)$ tại $x = \frac{π}{2} + π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2} + π$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Bước 4.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Bước 4.2.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Bước 4.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Bước 4.2.3.2

Cộng $π$ và $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Bước 4.2.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosecant âm trong góc phần tư thứ tư.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Bước 4.2.5

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Bước 4.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Bước 4.2.7

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 5

Đường tiếp tuyến ngang của hàm $f (x) = \csc (x)$ là $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Bước 6