Giải tích Ví dụ

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Bước 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Bước 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Bước 2.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Bước 2.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$2 (x y' + y)$

Bước 2.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x y' + 2 y$

Bước 2.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Bước 2.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Trừ $2 x y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Bước 2.5.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Bước 2.5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Bước 2.5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Bước 2.5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Bước 2.5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 2 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ cho $3 y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Bước 2.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{2} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Bước 2.5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Bước 2.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Bước 2.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho tử bằng không.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Bước 3.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Bước 3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x^{2} = - 2 y$ cho $- 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x^{2} = - 2 y$ cho $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Bước 3.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Bước 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Bước 3.2.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Viết lại $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.2.4.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 3.2.4.3.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 3.2.4.3.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 3.2.4.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 3.2.4.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 3.2.4.3.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.2.4.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.4.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.2.4.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.2.4.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 3.2.4.3.6.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Bước 3.2.4.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.4.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Bước 3.2.4.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Bước 3.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Bước 3.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Bước 3.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Bước 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ trong biểu thức.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ và $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Bước 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Bước 5.2.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Bước 5.2.3

Kết hợp $y$ và $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Bước 5.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Bước 5.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Bước 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Bước 7