Giải tích Ví dụ

$x^{2} + x y + y^{2} = 9$

Bước 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x y + y^{2} - 9 = 0$

Bước 1.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = x$ , và $c = x^{2} - 9$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 9))}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.3

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.4

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.3

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.4

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.5.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.5.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.5.7

Viết lại $- (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ ở dạng $- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 9)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.3

Nhân $- 4$ với $- 9$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.4

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 36}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $36$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x^{2}) + 3 (12)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2 \cdot 1}$

Bước 1.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.6.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.6.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.6.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (\sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.6.7

Viết lại $- (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ ở dạng $- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)})}{2}$

Bước 1.6.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 1.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$

Bước 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 9$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + x y + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.2.4

Nhân $y$ với $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Bước 3.2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Bước 3.3

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Bước 3.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Bước 3.5.1.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Bước 3.5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' + 2 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Bước 3.5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Bước 3.5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ cho $x + 2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ cho $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.5.1

Viết lại $- (2 x + y)$ ở dạng $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Bước 3.5.3.3.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Bước 3.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cho tử bằng không.

$2 x + y = 0$

Bước 4.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - y$

Bước 4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - y$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Bước 4.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Bước 4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{y}{2}$

Bước 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{y}{2}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) - \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Bước 5.2.1.5

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Bước 5.2.1.6

Kết hợp $12$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Bước 5.2.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Bước 5.2.1.8

Nhân $12$ với $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Bước 5.2.1.9

Kết hợp $3$ và $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Bước 5.2.1.10

Viết lại $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.10.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Bước 5.2.1.10.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Bước 5.2.1.10.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Bước 5.2.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{2}$

Bước 5.2.1.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Bước 5.2.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Bước 5.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 5.2.3

Nhân $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $\frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 5.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 5.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 5.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - (\sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 5.2.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Viết lại $- (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ ở dạng $- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 5.2.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 5.2.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Bước 5.2.7.4

Nhân $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ với $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 5.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (- x^{2} + 12)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{y}{2}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{(- \frac{y}{2}) + \sqrt{3 (- {(- \frac{y}{2})}^{2} + 12)}}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2}) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- ({(- 1)}^{2} (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.2.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{y^{2}}{2^{2}})) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{2 + 1} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 ({(- 1)}^{3} (\frac{y^{2}}{2^{2}}) + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{2^{2}} + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12)}}{2}$

Bước 6.2.1.5

Để viết $12$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + 12 \cdot \frac{4}{4})}}{2}$

Bước 6.2.1.6

Kết hợp $12$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (- \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Bước 6.2.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 12 \cdot 4}{4})}}{2}$

Bước 6.2.1.8

Nhân $12$ với $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{- y^{2} + 48}{4})}}{2}$

Bước 6.2.1.9

Kết hợp $3$ và $\frac{- y^{2} + 48}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}}}{2}$

Bước 6.2.1.10

Viết lại $\frac{3 (- y^{2} + 48)}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.10.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $3 (- y^{2} + 48)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{4}}}{2}$

Bước 6.2.1.10.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Bước 6.2.1.10.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (3 (- y^{2} + 48))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (- y^{2} + 48))}}{2}$

Bước 6.2.1.11

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$

Bước 6.2.1.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Bước 6.2.1.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}}{2}$

Bước 6.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $\frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 6.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 6.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sqrt{3 (- y^{2} + 48)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 6.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 6.2.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Viết lại $- (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ ở dạng $- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)})}{4}$

Bước 6.2.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 6.2.7.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4})$

Bước 6.2.7.4

Nhân $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ với $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 6.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (- y^{2} + 48)}}{4}$

Bước 8