Giải tích Ví dụ

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Bước 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng trong $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ cho $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Bước 1.2.2.1.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Bước 1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Bước 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Bước 1.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Bước 1.4.2

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Bước 1.4.3

Viết lại $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Bước 1.4.4

Viết lại $\frac{x^{2}}{9}$ ở dạng ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Bước 1.4.5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{1}{3}$ và $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Bước 1.4.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Bước 1.4.6.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Bước 1.4.6.3

Nhân $\frac{1 + x}{3}$ với $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Bước 1.4.6.4

Nhân $3$ với $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Bước 1.4.7

Viết lại $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ ở dạng ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Bước 1.4.7.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $3^{2}$ ra ngoài $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Bước 1.4.7.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Bước 1.4.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Bước 1.4.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Bước 1.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Bước 1.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Bước 1.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Bước 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Bước 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 3.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Bước 3.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 y^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Bước 3.2.2.4

Nhân $2$ với $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Bước 3.2.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$18 y y' + 2 x$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$18 y y' + 2 x = 0$

Bước 3.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$18 y y' = - 2 x$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $18 y y' = - 2 x$ cho $18 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $18 y y' = - 2 x$ cho $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Bước 3.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Bước 3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Bước 3.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Bước 3.5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Bước 3.5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Bước 3.5.2.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Bước 3.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Bước 4

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Bước 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Bước 5.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Bước 5.2.2.2

Nhân $1 - (0)$ với $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Bước 5.2.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Bước 5.2.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Bước 5.2.2.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Bước 6.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Bước 6.2.2.2

Nhân $1 - (0)$ với $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Bước 6.2.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Bước 6.2.2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Bước 6.2.2.5

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Bước 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Bước 8