Giải tích Ví dụ

$\frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 + \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.3.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.8

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(2 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2 \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.1.3

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.2.1.3.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.1.3.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 2 \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 2 \sin (x) - 1}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 1 - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 - 2 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.4.1

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.4.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (2 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.4.4

Viết lại $- 1 (1 + 2 \sin (x))$ ở dạng $- (1 + 2 \sin (x))$ .

$\frac{- (1 + 2 \sin (x))}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 1.9.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{1 + 2 \sin (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho tử bằng không.

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Bước 2.2

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 \sin (x) = - 1$

Bước 2.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \sin (x) = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.2.2.2.1.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Bước 2.2.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 2.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Bước 2.2.5

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 2.2.6

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 2.2.6.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Bước 2.2.7

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.2.8

Cộng $2 π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{6}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Bước 2.2.8.2

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 2.2.8.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.3.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Bước 2.2.8.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Bước 2.2.8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.4.1

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Bước 2.2.8.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Bước 2.2.8.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{6}$

Bước 2.2.9

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ tại $x = \frac{7 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{7 π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{7 π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Bước 3.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{7 π}{6})}$

Bước 3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Bước 3.2.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.2.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 3.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Bước 3.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Bước 3.2.2.6.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Bước 3.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \sqrt{3} \frac{1}{3}$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 4

Giải hàm số ban đầu $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ tại $x = \frac{11 π}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{11 π}{6}$ trong biểu thức.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{11 π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\cos (\frac{π}{6})}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Bước 4.2.1.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 + \sin (\frac{11 π}{6})}$

Bước 4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \sin (\frac{π}{6})}$

Bước 4.2.2.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}}$

Bước 4.2.2.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 4.2.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Bước 4.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}$

Bước 4.2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4 - 1}{2}}$

Bước 4.2.2.6.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{1}{3})$

Bước 4.2.5

Kết hợp $\sqrt{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 5

Các đường tiếp tuyến ngang trên hàm $f (x) = \frac{\cos (x)}{2 + \sin (x)}$ là $y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Bước 6