Giải tích Ví dụ

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Bước 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Bước 1.2

Rút gọn $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Bước 1.2.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Bước 1.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Bước 1.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Bước 1.3.3

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Bước 1.3.4

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Bước 1.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Bước 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Bước 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Bước 3.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại ${(y - 2)}^{2}$ ở dạng $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Bước 3.2.2

Khai triển $(y - 2) (y - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Bước 3.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Bước 3.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Bước 3.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Bước 3.2.3.1.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Bước 3.2.3.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Bước 3.2.3.2

Trừ $2 y$ khỏi $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Bước 3.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 4 y + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.6

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.7

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 y$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.8

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 3.2.9

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Bước 3.2.10

Cộng $2 y y' - 4 y'$ và $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Bước 3.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 (x - 3)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.3.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 (1 + 0)$

Bước 3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \cdot 1$

Bước 3.3.5.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Bước 3.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y' - 4 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Bước 3.5.1.2

Đưa $2 y'$ ra ngoài $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Bước 3.5.1.3

Đưa $2 y'$ ra ngoài $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Bước 3.5.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y - 2) = 4$ cho $2 (y - 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' (y - 2) = 4$ cho $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Bước 3.5.2.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Bước 3.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Bước 4

Đặt đạo hàm bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 4.2

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5

Không tìm được đáp án nào bằng cách đặt đạo hàm bằng $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ nên không có đường tiếp tuyến ngang nào.

Không tìm được đường tiếp tuyến ngang nào

Bước 6