Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Xác định xem hàm số là lẻ, chẵn, hay không phải cả hai để tìm đối xứng.

1. Nếu là hàm lẻ, hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Nếu là hàm chẵn, hàm số đối xứng qua trục y.

Bước 2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 3

Tìm $f (- x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm $f (- x)$ bằng cách thay $- x$ cho tất cả lần xuất hiện của $x$ trong $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Bước 3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Bước 3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Bước 3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Bước 3.3.4

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Bước 3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Bước 3.3.6

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Bước 3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Bước 3.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Bước 3.3.8.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Bước 3.3.8.3

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Bước 4

Một hàm số chẵn nếu $f (- x) = f (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kiểm tra xem $f (- x) = f (x)$ .

Bước 4.2

Vì $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , nên hàm số không chẵn.

Hàm số không chẵn

Bước 5

Một hàm số lẻ nếu $f (- x) = - f (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Bước 5.2

Vì $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , nên hàm số không lẻ.

Hàm số không lẻ

Bước 6

Hàm số không chẵn hoặc lẻ

Bước 7

Vì hàm không lẻ, nên nó không đối xứng qua gốc tọa độ.

Không đối xứng qua gốc tọa độ

Bước 8

Vì hàm không chẵn, nên nó không đối xứng qua trục y.

Không đối xứng qua trục y

Bước 9

Vì hàm số không lẻ và không chẵn, nên không có đối xứng qua gốc tọa độ / qua trục y.

Hàm số không đối xứng

Bước 10