Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Bước 1

Kiểm tra xem điểm đã cho có nằm trên đồ thị của hàm số đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính $f (x) = x^{3} - 2$ tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Bước 1.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - 2$

Bước 1.1.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (1) = - 1$

Bước 1.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Vì $- 1 = - 1$ , nên điểm nằm trên đồ thị.

Điểm nằm trên đồ thị

Bước 2

Hệ số góc của đường tiếp tuyến là đạo hàm của biểu thức.

$m$ $=$ Đạo hàm của $f (x) = x^{3} - 2$

Bước 3

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 4

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Bước 4.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Bước 4.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Bước 4.2.2

Di chuyển $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Bước 4.2.3

Di chuyển $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Bước 4.2.4

Di chuyển $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Bước 4.2.5

Sắp xếp lại $3 h^{2} x$ và $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Bước 4.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Bước 5

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Bước 6.1.3

Trừ $x^{3}$ khỏi $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Bước 6.1.4

Cộng $h^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Bước 6.1.5

Cộng $- 2$ và $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Bước 6.1.6

Cộng $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 6.1.7

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.7.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 6.1.7.2

Đưa $h$ ra ngoài $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Bước 6.1.7.3

Đưa $h$ ra ngoài $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Bước 6.1.7.4

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Bước 6.1.7.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 6.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Bước 6.2.1.2

Chia $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Bước 6.2.2.2

Di chuyển $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Bước 6.2.2.3

Sắp xếp lại $3 x h$ và $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 8

Tính giới hạn của $3 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 9

Chuyển số hạng $3 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 10

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $3 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Nhân $0$ với $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Bước 12.1.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Bước 12.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Bước 12.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 x^{2} + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 12.2.2

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 13

Tìm hệ số góc $m$ . Trong trường hợp này $m = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Bước 13.2

Rút gọn $3 \cdot 1^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$m = 3 \cdot 1$

Bước 13.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$m = 3$

Bước 14

Hệ số góc là $m = 3$ và điểm là $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Bước 15

Tìm $b$ bằng cách sử dụng công thức của phương trình đường thẳng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Sử dụng công thức cho phương trình đường thẳng để tìm $b$ .

$y = m x + b$

Bước 15.2

Thay giá trị của $m$ vào phương trình.

$y = (3) \cdot x + b$

Bước 15.3

Thay giá trị của $x$ vào phương trình.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Bước 15.4

Thay giá trị của $y$ vào phương trình.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Bước 15.5

Tìm $b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Bước 15.5.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + b = - 1$

Bước 15.5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $b$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.3.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$b = - 1 - 3$

Bước 15.5.3.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$b = - 4$

Bước 16

Bây giờ, các giá trị của $m$ (hệ số góc) và $b$ (tung độ gốc) đã được biết, thay chúng vào $y = m x + b$ để tìm phương trình đường thẳng.

$y = 3 x - 4$

Bước 17